Introducción:

10 Ejercicios Resueltos De Derivadas Parciales Para Principiantes.

En el ámbito de las matemáticas, las derivadas parciales son una herramienta fundamental para entender y analizar la variación de una función en diferentes direcciones. Si eres un principiante en este tema y quieres practicar tus habilidades, te presentamos una selección de 10 ejercicios resueltos de derivadas parciales. A través de ellos, podrás comprender los conceptos básicos de esta rama de las matemáticas y mejorar tus habilidades en la resolución de problemas. ¡Acompáñanos en este recorrido por las derivadas parciales!

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derivadas parciales ejercicios resueltos

Introducción a las derivadas parciales

Introducción a las derivadas parciales

Las derivadas parciales son una herramienta matemática fundamental en el cálculo de varias variables. Una derivada parcial es la tasa a la que cambia una función en relación con una de sus variables, manteniendo constantes las demás variables.

Por ejemplo, si una función f(x,y) describe la temperatura en cada punto de una placa metálica, la derivada parcial de f con respecto a x indica cuánto cambia la temperatura en un punto dado de la placa cuando se cambia la coordenada x en una pequeña cantidad, mientras que y se mantiene constante.

Para calcular una derivada parcial, se sigue el mismo procedimiento que en el cálculo de una derivada ordinaria, pero se considera sólo una de las variables como variable independiente y se trata a las otras variables como constantes. El resultado es una función que describe la tasa de cambio de la función original en relación con la variable elegida.

Derivadas parciales, EJEMPLOS RESUELTOS, MUY FÁCIL

Las derivadas parciales son especialmente útiles en la física, la ingeniería y la economía, ya que permiten modelar y analizar sistemas complejos que dependen de varias variables. En futuros artículos veremos ejemplos concretos de cómo se utilizan las derivadas parciales para resolver problemas en estas áreas.

Lista de puntos clave:

Las derivadas parciales miden la tasa de cambio de una función en relación con una de sus variables.
Para calcular una derivada parcial, se trata una de las variables como variable independiente y se mantienen las demás variables constantes.
Las derivadas parciales son útiles en la modelización y el análisis de sistemas complejos que dependen de varias variables.

Ejercicio 1 - Derivando funciones de una variable

Enunciado: Calcular la derivada de la función f(x) = x^2 + 3x - 2. Solución:

Aplicamos la regla de derivación para polinomios: la derivada de una suma es la suma de las derivadas, y la derivada de una constante por una variable es la constante.
Aplicando la regla de derivación, obtenemos: f'(x) = (2x + 3).

En resumen, la derivada de la función f(x) = x^2 + 3x - 2 es f'(x) = 2x + 3.

Es importante tener en cuenta que la derivada de una función nos da la pendiente de la recta tangente a la curva de la función en un punto determinado. Además, la derivada nos permite encontrar los puntos críticos de una función, es decir, aquellos puntos en los que la pendiente de la recta tangente a la curva de la función es cero.

Este ejercicio es un ejemplo sencillo de cómo se pueden derivar funciones de una variable utilizando las reglas de derivación para polinomios. En ejercicios más complejos, puede ser necesario utilizar otras reglas de derivación, como la regla de la cadena o la regla del producto.

DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 11

Ejercicio 2 - Derivando funciones de dos variables

En este ejercicio, se nos pide derivar la siguiente función de dos variables:

f(x, y) = x^2y + 3y^2 - 2xy^3

Para ello, debemos calcular las derivadas parciales de la función, es decir, la derivada respecto a x y la derivada respecto a y.

Derivada parcial respecto a x:

Para derivar respecto a x, debemos tratar a y como una constante:

∂f/∂x = 2xy - 2y^3 Derivada parcial respecto a y:

Para derivar respecto a y, debemos tratar a x como una constante:

∂f/∂y = x^2 + 6y - 6xy^2

Una vez calculadas las derivadas parciales, podemos simplificar las expresiones si es necesario y encontrar los puntos críticos de la función, donde ambas derivadas parciales se anulan. En este caso, los puntos críticos son (0,0) y (1/2,1/2).

En resumen, para derivar la función de dos variables dada, hemos calculado las derivadas parciales respecto a x e y y hemos encontrado los puntos críticos de la función.

Ejercicio 3 - Derivando funciones de tres variables

En este ejercicio, se nos pide derivar la siguiente función de tres variables:

f(x,y,z) = x^2y + xz^3 + y^2z^2

Para derivar esta función parcialmente, deberemos seguir los siguientes pasos:

1. Derivar con respecto a x:

Para derivar parcialmente con respecto a x, debemos tratar todas las variables que no sean x como constantes. Así, podemos escribir:

f(x,y,z) = x^2y + xz^3 + y^2z^2 ∂f/∂x = 2xy + z^3 2. Derivar con respecto a y:

Para derivar parcialmente con respecto a y, debemos tratar todas las variables que no sean y como constantes. Así, podemos escribir:

DERIVADAS PARCIALES - Ejercicio 9

f(x,y,z) = x^2y + xz^3 + y^2z^2 ∂f/∂y = x^2 + 2yz^2 3. Derivar con respecto a z:

Para derivar parcialmente con respecto a z, debemos tratar todas las variables que no sean z como constantes. Así, podemos escribir:

f(x,y,z) = x^2y + xz^3 + y^2z^2 ∂f/∂z = 3xz^2 + 2yz

Con esto, hemos obtenido las derivadas parciales de la función f(x,y,z).

Ejercicio 4 - Derivando funciones con varias variables

En este ejercicio, se nos pide que encontremos las derivadas parciales de la función f(x,y)= 3x^2 + 4xy − y^2 con respecto a x y a y.

Derivada parcial con respecto a x:

Para encontrar la derivada parcial de f con respecto a x, debemos tratar y como una constante y derivar únicamente con respecto a x. Por lo tanto, la derivada parcial de f con respecto a x es:

∂f/∂x = 6x + 4y Derivada parcial con respecto a y:

De manera similar, para encontrar la derivada parcial de f con respecto a y, tratamos x como una constante y derivamos únicamente con respecto a y. Por lo tanto, la derivada parcial de f con respecto a y es:

∂f/∂y = 4x - 2y Conclusión:

Las derivadas parciales de la función f con respecto a x y a y son:

∂f/∂x = 6x + 4y ∂f/∂y = 4x - 2y

Con este ejercicio, hemos practicado cómo encontrar las derivadas parciales de una función con varias variables.

Ejercicio 5 - Derivando funciones compuestas

Problema: Encuentra la derivada de la función f(x) = sen(x^2 + 1). Solución:

Esta función es un ejemplo de una función compuesta, lo que significa que es la combinación de dos funciones: sen(x) y x^2 + 1.

Podemos utilizar la regla de la cadena para derivar esta función. La regla de la cadena establece que si tenemos una función compuesta f(g(x)), la derivada de esta función es igual a la derivada de la función externa evaluada en la función interna multiplicada por la derivada de la función interna.

En este caso, podemos definir g(x) = x^2 + 1 y f(x) = sen(x). Entonces, la función compuesta es f(g(x)) = sen(x^2 + 1).

La derivada de f(g(x)) es:

f'(g(x)) = cos(g(x))

La derivada de g(x) = 2x.

Por lo tanto, la derivada de f(x) = sen(x^2 + 1) es: